Matemáticos de la Universidad de León avanzan en la Teoría de Control de Sistemas de Dinámicos Lineales
Antonio Martín/DICYT Tres matemáticos que desarrollan su labor docente e investigadora en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de León, Miguel Carriegos, Araceli de Francisco y Rafael Santamaría, han publicado recientemente un artículo científico en el que avanzan en la Teoría de Control de Sistemas Dinámicos Lineales. A través de caracterización de un conjunto de polinomios (una expresión algebraica constituida por un número finito de variables), pretenden conseguir un sistema más sencillo desde el punto de vista matemático. La teoría de sistemas es un esfuerzo de estudio interdisciplinario que trata de encontrar propiedades comunes a diferentes entidades y tiene aplicabilidad en diferentes ramas del conocimiento, desde la Ingeniería a la Biología.
El artículo, titulado "The Effective Calculation of All Assignable Polynomials to a Single-Input System Over a Bézout Domain", ha sido publicado en la prestigiosa revista IEEE Transactions on Automatic Control. Esta revista está editada por la IEEE Control System Society (Sociedad de Control de Sistemas del Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos, en castellano), sociedad fundada en 1954 dedicada al desarrollo de automatismos y control de sistemas tanto desde el punto de vista teórico como desde el punto de vista práctico. La citada revista científica ocupa el segundo puesto de un total de cincuenta y tres publicaciones dentro del apartado dedicado a sistemas de automatización y control del Journal of Citation Reports”, que ordena las publicaciones según su factor de impacto.
El trabajo científico publicado por estos tres autores se enmarca dentro de la Teoría de Control de Sistemas de Dinámicos Lineales. Un sistema dinámico lineal es un objeto matemático que permite obtener el estado en el que se encuentra un sistema en términos de los estados en los que se encontraba en periodos anteriores mediante ecuaciones que se pueden presentar mediante expresiones matriciales. En las ecuaciones que rigen el sistema se pueden introducir ciertos parámetros con el objetivo de intentar controlar los estados que alcanza el sistema, de donde deriva el nombre de Teoría de Control.
El concepto de sistema es más cercano a la realidad de lo que parece. Una fábrica, por ejemplo, es, si lo abstraemos, un sistema. Las piezas del engranaje industrial, los obreros ensamblando las partes del producto, las tomas de decisiones en los despachos... toda esta estructura recibe unos impulsos e informaciones (órdenes de la dirección, entrada de materiales...) que provocan respuestas. Todo este movimiento es, en realidad, un sistema. Existen sistemas en otras disciplinas del conocimiento y el conocimiento abstracto que proporciona las Matemáticas puede permitir implementar mejoras o describirlos con más profundidad.
Polinomios asignables
Existen unos polinomios íntimamente relacionados con estos sistemas dinámicos lineales, los denominados polinomios asignables al sistema. El resultado principal del trabajo consiste en la caracterización del conjunto de polinomios asignables a un sistema dado mediante un algoritmo susceptible de ser implementado en un ordenador, con el objetivo último de obtener de forma automática todos los polinomios asignables del sistema dado mediante transformaciones del mismo que lo convierten en un sistema equivalente más sencillo desde el punto de vista matemático.
Este trabajo se enmarca en los sistemas dinámicos con coeficientes en un dominio de Bézout en los que existe un algoritmo efectivo para obtener el máximo común divisor de dos elementos. Un ejemplo de estos dominios son los dominios euclídeos, que son conjuntos que poseen un algoritmo de división con análogas propiedades al algoritmo de división que tienen los números enteros y que todos conocemos, permitiendo establecer una técnica efectiva para calcular el máximo común divisor de dos elementos a partir del algoritmo de división. Esa técnica para calcular el máximo común divisor de dos elementos, denominada identidad de Bézout, combinada adecuadamente con operaciones elementales en matrices, constituye la clave que permite desarrollar la técnica efectiva para el cálculo del conjunto de polinomios asignables de un sistema que se establece en el trabajo. Étienne Bézout (Nemours, Francia, 31 de marzo de 1730 - Avon, Francia, 27 de septiembre de 1783) fue un matemático francés.
Este artículo es un fruto más de la labor llevada a cabo por Miguel Carriegos y el grupo de investigación que lidera, grupo que involucra a investigadores de tres universidades españolas: Universidad Politécnica de Cataluña, Universidad de Valladolid y Universidad de León. En una investigación anterior, el propio Carriegos ya ha obtenido algoritmos más eficientes en el ámbito de los sistemas de control híbridos.